某题，关于高中数学

已知：三角形ABC的三边为a、b、c，2cosB=cosA+cosC，b²=ac。

求证：三角形ABC为正三角形。

 

证明：

由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB

化为(a-c)²=ac(2cosB-1)

左边非负，右边非负，ac>0，cosB>=1/2

由二倍角公式，

1-2sin²(B/2)>=1/2

sin(B/2)<=1/2

 

由已知，

2cosB=cosA+cosC

cosB=cos((A+C)/2)cos((A-C)/2)=cos((A-C)/2)cos(90-B/2)=cos((A-C)/2)sin(B/2)

cos((A-C)/2)<=1,

cosB<=sin(B/2)

1-2sin²(B/2)-sin(B/2)<=0

[1-2sin(B/2)][1+sin(B/2)]<=0

显然 sin(B/2)>0

所以 sin(B/2)>=1/2

 

综合以上知sin(B/2)=1/2

cosB=1/2，B=π/3

代入(a-c)²=ac(2cosB-1)

右边=0=左边

a=c

A=C=π/3

此时三角形ABC为等边三角形

 

昨天看到这道题，做了几个小时没做出来。很显然，高中时候做过，而且不止一遍。。。

说到这里想起来某人给某人每天不倦的讲题。。。汗。。。某章鱼烧不要打我。。。这个章鱼烧。。。嗯嗯。。。味素放多了。。。

 

没有什么别的意思啦，就是把题放在这，提醒一下，曾经很辛苦的学过的东西别忘了。。。话说也不算很辛苦。。。怎么说也要摆一下成年人的架子

然后这道题真的比较牛，拜拜

orz

Orz

Oπz

OTL

OYL

OTZ

OYZ

囧πz

囧TZ

囧乙

囧丁乙

囧丫乙